第三章 函数的概念与性质 章末复习课-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

章末复习课 第三章　函数的概念与性质 知识网络 一、求函数的定义域、值域 二、函数的图象 三、函数的性质 四、函数的应用 内容索引 3 求函数的定义域、值域 一 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 　　(1)函数f(x)＝ ＋(2x－1)0的定义域为 例1 √ (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为 由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]， 得x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]， 令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]. √ 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； 反思感悟 ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围. 反思感悟 　　　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是 A.[－4,4] B.[－4,2] C.[－4，－2] D.[2,4] 跟踪训练1 由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2. 所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]. √ 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}. {x|1≤x≤5且x≠3} 函数的图象 二 1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养. 　　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； 例2 当－x2＋2x＋3≥0，即－1≤x≤3时，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0，即x<－1或x>3时，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3). (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}. 由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4. 故集合M＝{m|0<m<4}. 反思感悟 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表；描点；连线. (2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转. 反思感悟 ②对称：y＝f(x) y＝f(－x)； y＝f(x) y＝－f(x)； y＝f(x) y＝－f(－x). 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图. 　　　已知函数f(x)＝ 方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)， 则方程的根的个数是 A.2 　　B.3 　　 C.4　　 D.5 跟踪训练2 结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. √ 因为f 2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b， 函数的性质 三 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3 函数f(x)是奇函数. 证明：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， (1)判断f(x)的奇偶性并证明； 所以函数f(x)是奇函数. (2)当x∈(1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明； 函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2，则 因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)