第三章 习题课 函数性质的综合问题-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙

习题课　函数性质的综合问题 学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题． 一、函数图象的对称性 问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)； 反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 知识梳理 1．函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ 2.函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 例1　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋，则f 等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D. 答案　B 解析　∵y＝f(x)的图象关于点对称， ∴f ＋f ＝0， 即f(1＋x)＋f(－x)＝0. 又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)， ∴f ＝－f ＝0. 反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法： (1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论． (2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题． 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 跟踪训练1　若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)<f <f  B．f <f(1)<f  C．f <f <f(1) D．f <f(1)<f  答案　B 解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)． 故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f ＝f ，f ＝f ， 又f(x)在(0,2)上单调递增，<1<， ∴f <f(1)<f ， 即f <f(1)<f . 二、函数性质的综合应用 例2　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝. (1)确定函数f(x)的解析式． (2)用定义法证明f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. (1)解　根据题意得即 解得∴f(x)＝. (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵－1<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0,1－x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)解　f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函数， ∴解得0<t<. ∴不等式的解集为. 反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域． 跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)． (1)求函数g(x)的定义域． (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集． 解　(1)由题意可知 所以解得<x<， 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x)． 因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3)． 而f(x)在(－2,2)上是减函数， 所以解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 1．知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心． (2)函数奇偶性的综合应用． 2．方法归纳：数形结合、等价转化． 3．常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0. 1．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　) 答案　B 2．设