第三章 习题课 反比例函数、对勾函数-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁

习题课　反比例函数、对勾函数 学习目标　1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.2.能通过构造函数解决实际问题． 一、反比例函数的图象和性质 问题1　反比例函数的一般形式是什么？ 提示　y＝，其中x为自变量且x≠0，k为常数． 问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗？ 提示　不会，因为x≠0. 例1　画出反比例函数y＝的图象． (1)求函数的定义域和值域； (2)判断函数的单调性和奇偶性． 解　(1)函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}． (2)令y＝f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间，证明如下： 当x>0时，∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵k>0，x1>0，x2>0，x1<x2， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 同理当x<0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减． 当k<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递减区间(证明略)． f(x)为奇函数． 反思感悟　研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到． (2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法． (3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性． (4)函数图象关于(0,0)中心对称． 跟踪训练1　作出y＝(－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间． 解　由题意知函数y＝(－2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分， 当x＝－2时，y＝＝－1；当x＝1时，y＝＝2； 所以该函数图象如图： 由图象可知，函数y＝(－2≤x<1且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)． 单调递减区间为[－2,0)和(0,1)，没有单调递增区间． 二、对勾函数的图象和性质 问题3　观察函数y＝x＋解析式的特点，你想到了什么？ 提示　学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数y＝x＋. 问题4　大家讨论一下，如何作出该函数的图象？ 提示　借助计算机软件，我们绘制出它的图象． 问题5　观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？ 提示　发现该函数图象介于y＝x和y轴之间，且图象无限接近y＝x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”． 问题6　结合函数的解析式和函数图象，你能得出f(x)＝x＋的哪些性质？ 提示　(1)定义域：∵x≠0， ∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}； (2)值域：函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x＋为奇函数； (4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减． (5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2. (6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0,0)成中心对称． 例2　探究函数f(x)＝x＋(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)． 解　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (3)奇偶性：奇函数； (4)单调性：函数f(x)＝x＋(a>0)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈(0，]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·. 因为0<x1<x2≤， 所以x1－x2<0,0<x1x2<a， 所以>1， 所以1－<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(0，]上单调递减． 任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2). 因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以<1，所以1－>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在(，＋∞)上单调递增． 同理，f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减． 其图象如图所示． 延伸探究　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)． 解　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：R； (3)奇偶性：奇函数； (4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2