第三章 函数的概念与性质 章末复习课-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁

一、求函数的定义域、值域 1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域． 2．掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养． 例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　由题意知解得x<1且x≠， 即f(x)的定义域是∪. (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A. B. C．[0,1] D. 答案　C 解析　由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]， 得x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]， 令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． 反思感悟　求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围． 跟踪训练1　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是(　　) A．[－4,4] B．[－4,2] C．[－4，－2] D．[2,4] 答案　B 解析　由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2. 所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]． (2)函数y＝＋－的定义域为______________． 答案　{x|1≤x≤5且x≠3} 解析　解不等式组得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}． 二、函数的图象 1．会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养． 例2　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}． 解　(1)当－x2＋2x＋3≥0，即－1≤x≤3时，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0，即x<－1或x>3时，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即f(x)＝的图象如图所示，单调 递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3)． (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4. 故集合M＝{m|0<m<4}． 反思感悟　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表；描点；连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ 方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)，则方程的根的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，作函数f(x)＝的图象如图， 结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 三、函数的性质 1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 例3　已知函数f(x)＝. (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)当x∈(1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5－2m)，求m的取值范围． 解　(1)函数f(x)是奇函数． 证明：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (2) 函