3.4 函数的应用(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

学习目标　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 一、一次函数模型的应用 例1　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解　(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)． (2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜． 反思感悟　一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 跟踪训练1　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 解　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸， 每月所获利润是y元， 则每月售出报纸共(20x＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400， 因为此一次函数的k＝1.6>0， 所以y是一个在定义域内单调递增的函数，再由250≤x≤400知， 当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元． 二、二次函数模型的应用 例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简， 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600 ＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 跟踪训练2　据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解　(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． (2)设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－ ＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 所以月产量为23吨时，