第4章总结(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

A.-73 B.-61 C.-55 D.-63 4.在 x+ 3 x n 的展开式中,各项系数之和与二 项式系数之和的比为32∶1,则x2 的系数为 ( ) A.50 B.70 C.90 D.120 5.多项式x3+x10=a0+a1(x +1)+… + a9(x+1)9+a10(x+1)10.求: (1)a0+a1+…+a9+a10 的值; (2)a0-a1+a2-a3+…-a9+a10 的值; (3)a0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 计数原理 基本计 数原理 ↓ 分类加法 计数原理 第一类有m 种不同的方法,第二类有n种不同的方法, 则共有N =m+n种不同的方法 分步乘法 计数原理 第一步有m 种不同的方法,第二步有n种不同的方法, 则共有N =m·n种不同的方法 排列、组合 排列 组合 ↓ ↓ 组合的定义 从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素作为一组 组合数公式 Cmn = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) m! = n! m! (n-m)! , 规定C0n =1 组合数性质 (1)Cmn =Cn-mn ;(2)Cmn+1 =Cmn +Cm-1n 组合的应用 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m ≤n)个不同的元素, 按照一定的顺序排成一列 排列数公式 Amn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= n! (n-m)! 全排列Ann =n(n-1)(n-2)×…×2×1=n!, 规定0! =1 排列的应用 二项式定理 二项式定理 (a+b)n =C0nan +C1nan-1b1+…+Crnan-rbr +…+Cnnbn(n∈N+) 二项式系数性质 (1)对称性;(2)单调性与最大值;(3)各二项式系数的和: C0n +C1n +C2n +…+Cnn =2n 二项展开式通项 Tr+1 =Crnan-rbr(r=0,1,2,3,…,n) 146 第4章　计数原理　　　　　　　 两个计数原理 [例1] 已知集合A={2,4,6,8},B={1, 3,5,7,9},从A 中取一个数作为十位数字,从B 中取一个数作为个位数字,问: (1)能组成多少个不同的两位数? (2)能组成多少个十位数字小于个位数字 的两位数? [解] (1)从A 中取一个数作为十位数字, 有4种不同的取法,从B 中取一个数作为个位数 字,有5种不同的取法.由分步乘法计数原理可 知,能组成4×5=20(个)不同的两位数. (2)要组成十位数字小于个位数字的两位 数,可分如下情况: 当个位数字为9时,十位上的数字有4种取 法,能 组 成4个 十 位 数 字 小 于 个 位 数 字 的 两 位数; 当个位数字为7时,十位上的数字有3种取 法,能 组 成3个 十 位 数 字 小 于 个 位 数 字 的 两 位数; 当个位数字为5时,十位上的数字有2种取 法,能 组 成2个 十 位 数 字 小 于 个 位 数 字 的 两 位数; 当个位数字为3时,十位上的数字有1种取 法,能 组 成1个 十 位 数 字 小 于 个 位 数 字 的 两 位数. 所以组成的十位数字小于个位数字的两位 数有1+2+3+4=10(个). 变式训练1 某电商为某次活动设计了 “和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人 可以依次点击4次,每次都会获得三种红包的一 种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺 序不同对应的奖次也不同,员工甲按规定依次 点击了4次,直到第4次才获奖,则他获得奖次 的不同情形种数为 ( ) A.9 B.12 C.18 D.24 变式训练2 (a1 +a2 +a3)(b1 +b2 + b3)(c1+c2+c3+c4)展开后共有 项. 排列组合应用题 将具体问题抽象为排列问题或组合问题, 是解排列、组合应用题的关键一步.排列组合讨 论的问题共同点是“元素不相同”,不同点是排 列与顺序有关,组合与顺序无关. (1)正确分类或分步,恰当选择两个计数 原理. (2)有限制条件的排列组合问题应优先考 虑“受限元素”或“受限位置”. (3)处理排列组合的综合性问题,一般思想 方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质 “分类”和按事件发生的连续过程“分步”,始终 是处理排列组合问题的基本方法和原理,通过 解题训练注意积累分类和分步的基本技能. [例2] 两名老师和五名学生站一排拍照. (1)五名学生必须排在一起共有多少种 排法? (2)两名老师不能相邻共有多少种排法? (3)两名老师不能排在两边共有多少种 排法? [分析] (1 )采用捆绑法,学生捆绑在一起 排好,再 把 学 生 当 作 一 个 整