1.1.2 空间向量的数量积运算（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2空间向量的数量积运算 一、内容及内容解析 1.内容 本单元教学需2课时.第一课时，空间向量及其运算；第二课时，空间向量的数量积运算 空间向量数量积的定义、运算律，向量投影.这里给出第二课时的教学设计. 2.内容解析 （1）内容的本质 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的数量积与平面向量的数量积一致，并且满足交换律和分配律等运算律。给出空间向量的数量积运算及其运算律后，所有空间向量所构成的向量空间进一步成为一个欧氏空间，这为用向量方法研究空间中的位置关系和度量问题奠定了基础. （2）蕴含的思想与方法 空间向量的投影包括空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影等三种情况，其中前两种投影的定义与平面向量的相应投影是一致的.一般地，向量投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，是构建高维空间与低维空间联系的桥梁.空间向量的投影对研究立体几何问题有重要意义，它为后续研究各种距离问题提供普适性方法，也是本课时证明空间向量数量积分配律的基础. （3）培育的数学核心素养 本课时的学习，类比平面向量的数量积学习空间向量的数量积，将空间向量的投影转化为平面向量的投影，体现了类比、转化等思维方法.利用空间向量的数量积运算及运算律，解决一些简单的立体几何中的求长度、角度，证明垂直等问题，体现了用空间向量解决立体几何问题的向量方法，通过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。 （4）教学重点 确定本节课的教学重点：空间向量数量积的概念和运算律. 二、目标与目标解析 1.本单元教学目标 (1) 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． (2) 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． (3) 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． (4) 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： (1) 能类比平面向量的数量积的概念，给出空间向量的数量积的概念，会计算两个向量的数量积.能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的交换律、结合律、分配律，体会空间向量运算律和实数运算律的联系与区别. (2) 能画一个向量在另一个向量、一条直线上或者一个平面上的投影. (3) 能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及运算律在解决立体几何问题中的作用，体会立体几何中的向量方法. 三、教学问题诊断分析 1.问题诊断 学生有平面向量学习的基础，有类比平面向量的线性运算学习空间向量的线性运算的经验,把平面向量数量积的概念推广到空间并不难，也能较容易由平面向量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面向量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的经验，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的经验，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的经验，结合具体问题，从几何量的向量表示入手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示. 教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影.对于向量投影在解决立体几何问题中的作用，则需要学生在后续学习中逐步体会. 2. 教学难点 对于空间向量的投影，将其转化为平面向量的投影，并画出投影向量，需要较强的空间想象能力，故用向量的方法解决立体几何问题是本节课的一个难点. 四、教学支持条件分析 1.技术支持 准确把握空间向量的投影需要较强的空间想象能力，为了帮助学生理解空间向量投影的概念，教学时可以利用三维动画直观展示空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影. 2.知识储备 学生在学习了空间向量的有关概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在，，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了任意两个空间向量都是共面的。在平面向量的学习中，学生已经认识到平面向量的数量积在位置关系（垂直）的判定，叫与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量夹角的基础上，类比引入空间向量的夹角和表示方法，类比平面向量的数量积运算得到空间向量的数量积运算。 五、课时教学设计 1.1.2空间向量的数量积运算 1.课时教学内容 空间向量数量积的定义、运算律，向量投影. 2.课时教学目标 掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。培养数形结合思想，发展数学抽象等