专题07 不等式的基本性质（六大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题07 不等式的基本性质 【题型归纳目录】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 题型二：作差法比较两数（式）的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典例例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 例1．（2023·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 例2．（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 变式1．（2023·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元 （    ）. A． B． C． D． 题型二：作差法比较两数（式）的大小 例4．（2023·高一课时练习）比较大小： (1)和； (2)和，其中． 例5．（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）用作差法比较与的大小. 例6．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 变式2．（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）设，，比较M，N的大小. 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 例7．（2023·山东滨州·高一校考阶段练习）若，且，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·全国·高一专题练习）若实数，满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·江苏苏州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 变式3．（2023·河南周口·高一统考期中）设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，其中，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用不等式的性质证明不等式 例10．（2023·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 例11．（2023·高一课时练习）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 例12．（2023·河北石家庄·高一