3.4 函数的应用(一)-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕手细高中数学必修第一册尺A 3.4函数的应用（一） 重点和难点 课标要求 L.掌握常见的几种函数模型. 重难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并我 2.用函数模型解决实际问题。 到变量之间的关系 3.能依据条件选择合适的函数模型. 01必备知识梳理。 盘础梳理 知识点1常见的函数模型 般来说，常见的函数模型有以下几种： 刀记方法 (1)一次函数模型：f(x)=kx十b(k,b为常数，k≠0) 建模时确定函数解析式的 [注意]正比例函数模型：f(x)=kx(k为常数，k≠0)是一次 基本方法 函数的特殊情况 方法一（待定系数法）：己 (2)反比例函数模型：f(x)=(k为常数，k≠0). 知条件中给出了含参数的西 数解析式或根据已知条件可 (3)二次函数模型：f(x)=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0). 确定函数模型，此种情形下应 (4)幂函数模型：f(x)=a.x十b(a,b,n为常数，a≠0，n≠1). 用待定系数法求出函数解析式 (5)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的 中的相关参数（未知系数）的 综合，因此应用也十分广泛 值就可以确定函数的解析式 重难拓展 方法二（归纳法）：先让自 重难点】解答函数应用题的基本思想 变量x取一些特殊值，计算出 从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、 对应的函数值，从中发现规 比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和 律，再推广到一般情形，从而 规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化， 得到函数的解析式 找到有效的解题途径—构建数学模型，将实际生活问题抽象为 数学问题（如图3.4-1所示）. 明确题意找出题设与钻论的数学关 实小应 系—效登关系或空间位置关系 分析，联想 用问题 转化、抽象 在分析联想的基础 再转译成其体应 上转化为数学问题， 用问題的结论 抽家构建一个或几 个效学模型来求解 解答数 给出致学问题的解答 学间 建数学模型 图3.4-1 154 第三章 函教的概念与性质么 例①(2023·山东济南检测)某工厂生产某种产品，每件产 品的出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中平均每生产 件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两 套方案对污水进行处理，并准备实施。 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米 污水所用原料费为2元，每月排污设备损耗费为30000元 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立 方米污水需付14元的排污费。 假设生产出的产品能全部销售出厂，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环 境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明. (2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决 策呢？ 解析设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元， 方案二的利涧为y2元 由题意知=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000, y2=(50-25)x-14X0.5.x=18x. (1)当x=3000时，y1=42000,2=54000, :y<,应选择方案二处理污水。 (2)当x=6000时，y=114000,2=108000, ,y>y2,应选择方案一处理污水 02关建能动提升。 题型方法 解析因为火车匀速行驶的总时间为 题型1一次函数模型 (277-13)÷120-号h,所以0≤1<号 例2某列火车从北京西站开往石家庄， 因为火车匀速行驶th所行驶的路程为 全程277km.火车出发10min开出13km,之 1201km,所以火车行驶的总路程s与匀速行驶 后以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车 的时间t之间的函数关系式为s=13十1201 行驶的总路程（单位：km)与匀速行驶的时间 (0≤<) t(单位：h)之间的函数关系式，并求离开北京 离开北京2h时火车匀速行驶的时间为 2h时火车行驶的路程. ?一日-吕，此时火车行胶的路程s=13十 点拨求出火车匀速行驶的总时间，可得 定义域，再建立总路程关于时间的函数模型， 120×1=233km. 6 155 国避手细高中数学必修第一册R/A 例3(2022·安徽省部分学校联考)为了 ◆变式1某公司租地建仓库，每月土地占 发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电 用费y与仓库到车站的距离成反比，而每月库 话采取不同的收费方式，其中所使用的“如意 存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比， 卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通 如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费 话时间x(单位：分钟)与通话费用y(单位：元) 用y和y2分别为2万元和8万元.那么，要使 的关系如图3.4-2所示. 这两项费用之和最小，仓库应