第10讲 函数的单调性与最大（小）值-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性与最大（小）值 1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 二、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)． 2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 三、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 四、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 五、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 考点一：单调性定义的理解 例1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）    A．是函数的增区间 B．是函数的减区间 C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数 【变式训练】设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？ 考点二：利用定义法证明函数单调性 例2．用定义证明：函数在上是增函数． 【变式训练】求证：函数在区间上是减函数． 考点三：求函数的单调性或单调区间 例3．下列四个函数中，在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】函数的递减区间为 _____． 考点四：利用函数单调性比较大小 例4．已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 【变式训练】设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ） A． B． C． D． 考点五：利用函数单调性解不等式 例5．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________. 考点六：根据函数