第09讲 二次函数中特殊几何图形的存在性问题-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第09讲 二次函数中特殊几何图形的存在性问题 1. 初步学会由点的坐标表示线段长，由特殊几何特征转化为线段的数量关系，进而列方程解决问题； 2. 通过具体二次函数动态几何存在性问题的分析，发展分析问题和解决问题的能力，体会类题通法； 3. 初步学会这一类二次函数综合题的解题思路及解题步骤。 二次函数中与特殊几何图形有关的存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：二次函数中与直角（等腰）三角形、相似（全等）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形等． 考点一：二次函数中直角三角形的存在性问题 例1．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考阶段练习）若二次函数的图象经过点，其中、为常数． (1)用含有字母的代数式表示抛物线顶点的横坐标； (2)若时，此时抛物线与轴的另一个交点，与轴的交点，连接、两点，若是抛物线上一点，使得是以边为直角边的直角三角形，求点． (3)点、为坐标平面内的两点，连接、两点．若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围． 【变式训练】 1．（2023·山西太原·太原市实验中学校考三模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 考点二：二次函数中等腰三角形的存在性问题 例2．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【变式训练】 1．（2022春·江苏·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 2．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三：二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 例3．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．    (1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）已知抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标． (2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？ 2．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)当时，判断的形状； (2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，