重难点05 正余弦定理十二大题型汇总-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】专练

重难点05正余弦定理十二大题型汇总 技巧一.边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 技巧二.三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 技巧三.角平分线问题处理方法 1.角平分线“拆”面积： 2.角平分线定理性质： 3.利用等角的余弦定理：cos∠BAD=cos∠CAD 4.大三角形与小三角形同时使用余弦定理：cos∠BAC=cos2∠BAD . 技巧四.中线的处理方法 1.向量法： 2.双余弦定理法（补角法）： 如图设，在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式即可 3倍长中线法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4. 中线分割的俩三角形面积相等. 技巧五.高线的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 题型1正弦定理解三角形 【例题1】（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】（2023春·四川成都·高一成都实外校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-2】（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 题型2余弦定理解三角形 【例题2】（2021春·全国·高一期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【变式2-1】（2022春·广西百色·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______. 【变式2-2】（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______. 【变式2-3】（2022春·吉林长春·高一统考期末）一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=4，BC=6，则DE=________. 题型3三角形解的个数判断 【例题3】（2021春·陕西延安·高一校考期末）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式3-1】（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】（2022春·河南驻马店·高一统考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（2022春·上海黄浦·高一校考期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________. ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【变式3-4】（2022春·广西河池·高一统考期末）已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为___________. 【变式3-5】（2020春·上海黄浦·高一统考期末）在中，、所对的边长为、，，. （1）若，求； （2）讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 题型4三角形的形状问题 【例题4】（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-1】（2021春·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）在中，若，，则形状为（    ）