3.4 函数的应用（一）(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

3.4 函数的应用(一) [课标要求]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题. [核心素养]通过本节课的学习,使学生体会常见函数的变化异同,提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养. 1.常见的函数模型 常 见 函 数 模 型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 幂函数模型 y=axα +b(a,b为常数,a≠0,α≠1) 2.解决函数应用问题的步骤 (1)利用函数知识和函数观点解决实际问题 时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. (2)这些步骤用框图表示如图: 实际问题 分析、联想、 抽象、转化→建立函数模型 数 学 解 答 ↓ 数学问题结论 转译 ←实际问题结论 问 题 解 决 ↑ 1.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函 数关系? 2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什 么特点? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次函数模型 [例1] 某家报刊销售点从报社买进报纸 的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50 元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格 退回报社.在一个月(30天)里有20天每天可以 卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250 份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天 应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获 得的利润最大? 最大利润为多少元? 学生试答: 　　1.一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下 按照“问什么,设什么,列什么” 的原则来处理,求解 过程也比较简单. 2.一次函数模型解决问题的注意点 (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用 方法. (2)当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当 一次项系数为负时,一次函数为减函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 078 第三章　函数的概念与性质　　　　　　　 变式训练1 为了发展电信事业,方便用 户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式, 其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围 内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用 y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x 之间的函数解析式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种 卡便宜. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二次函数模型 [例2] 某企业生产一种机器的固定成本 为0.5万元,但每生产1百台机器时,又需可变 成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品 的年需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的 函数为F(x)=5x- 1 2x 2(0≤x ≤5),其中x 是该产品的年产量(单位:百台). (1)将利润表示为年产量的函数; (2)当年产量是多少时,企业所得利润最大? 学生试答: 　　 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二 次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一, 依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法 求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求 最值,从而解决利润最大、用料最省等问题. 变式训练2 A,B 两城相距100 km,拟在 两城之间距A 城x km处建一发电站给A,B 两 城供电,为保证城市安全,发电站距城市的距离 不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离 (单位:km)的平方与供电量(单位:亿度)之积 的0.25倍,若每月向A 城供电20亿度,每月向 B 城供电10亿度. (1)求x 的取值范围; (2)把月供电总费用y 表示成关于x 的 函数; (3)发电站建在距A 城多远处,能使供电总 费用y 最少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋