全等三角形的七大模型压轴题训练（六）-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

全等三角形的七大模型压轴题训练（六） 一、解答题 1．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且． （1）求证：． （2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明． （3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）． 2．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接． （1）当点，都在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 3．如图（1），△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°． (1)判断CD与BE有怎样关系；并说明理由； (2)如图（2）过点A作AP⊥BC于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE中点． (3)如图（1），若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积最大值是______，此时△ADE的面积是______． 4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF． (1)如图①，当AD平分∠BAC时， ① AB与AF相等吗？为什么？ ②判断DF与AC的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB． 5．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 6．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米． 【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是________； 【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：． 7．综合与实践 如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 实践操作： 将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动． 问题解决： （1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：MB=MC； 拓展延伸： （2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为 ； 问题再探： （3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由． 8．如图，在中， ，高AD、BE相交于点O，，且． (1)求线段AO的长； (2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 9．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点． （3）当