第二章　二次函数——二次函数压轴专题（铅垂线法-面积最值）讲义　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

北师版数学九下二次函数压轴专题（铅垂线法-面积最值）（解析） 一．01类：基础类（共6小题） 1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点D是第三象限抛物线上一动点，连接AD，AC，求△ACD面积的最大值，并求出此时点D的坐标； ​ 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴， 解方程组，得． ∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）如图，过点D作DF⊥x轴于点F，设D（m，m2+2m﹣3）（﹣3＜m＜0）． ∴DF＝﹣m2﹣2m+3，AF＝m+3，OF＝﹣m． 当x＝0时，y＝﹣3． ∴点C的坐标为（0，﹣3）． ∴OC＝3． ∴S△ADC＝S四边形AOCD﹣S△AOC＝×（m+3）（﹣m2﹣2m+3）+×（3﹣m2﹣2m+3）×（﹣m）﹣＝﹣m2﹣＝﹣（m+）2+， ∴当时，S△ADC最大，且最大值为． 此时，点D的坐标为； 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是第二象限内抛物线上一动点，连接AC，D是线段AC的中点，连接AP，DP，求△APD面积的最大值及此时点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），点B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）连接CP，过P作PK∥y轴交AC于K，如图： 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， 由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC函数表达式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3）， ∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∴S△ACP＝×（﹣t2﹣3t）×3＝﹣t2﹣t， ∵D为AC的中点， ∴S△APD＝S△ACP＝﹣t2﹣t＝﹣（t+）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣时，S△APD取最大值，最大值为， 此时P（﹣，）， ∴△APD面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，）； 3．在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．其中点A（﹣2，0），点B（4，0）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，在直线经过A点，与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值及其此时P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点．其中点A（﹣2，0），点B（4，0）， ∴； （2）将A（﹣2，0）代入， 得：， 解得：n＝﹣1， ∴， 令x＝0，解得：y＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， 如图所示，过点P作PE⊥x轴交l于点E， 设，则， ∴＝， ∴＝＝， ∴对称轴为，且﹣2＜t＜3， ∴△PAD面积最大值为， 此时，； 4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣4，1． （1）求此抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线BD上方抛物线上一动点，连接PB，PD，求△PBD面积的最大值； 【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4． （2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4， ∵对称轴直线l为x＝＝﹣， 在y＝﹣x2﹣3x+4中，令x＝0， 得y＝4， ∴点C（0，4）， ∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（﹣3，4）， 设直线BD解析式为y＝kx+b1， 把B（1，0），D（﹣3，4）代入y＝kx+b1， ， 解得， ∴直线BD的函数关系式为y＝﹣x+1， 作PH∥y轴，交直线BD于点H， 设P（m，﹣m2﹣3m+4），则H（m，﹣m+1）， ∴PH＝﹣m2﹣3m+4﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣2m+3， ∴△PBD面积S＝×4×（﹣m2﹣2m+3）＝﹣2（m+1）2+8， ∵a＝﹣2＜0， ∴当m＝﹣1时，△PBD面积有最大值8，此时点P为（﹣1，6）． 5．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC． （1）求线段AC的长； （2）点P为直线AC上方抛物线上一点，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标； 【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2﹣x+2中， 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）． 令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0， 解得x＝﹣2或x＝1， ∴A（﹣2，0），B（1，0）， ∵A（﹣2，0），C（0，2）， ∴AC＝＝2； （2）由（1）可得AB＝3，OC＝2， ∴S△ABC＝×3×2