第04讲 充分条件与必要条件-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4．能对充分条件进行证明。 一、命题定义与表示 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 二、充分条件条件与必要条件 1、充分条件与必要条件定义 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。 （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。 2、充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。 三、充要条件 1、充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 2、充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 四、充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一：命题的概念与真假判断 例1．(多选)下列语句是命题的是（ ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【变式训练】下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：充分、必要条件的判断 例2．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练】指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？ （1）若，，； （2）或；； （3）：能被整除，：能被整除． 考点三：根据充分、必要条件求参数范围 例3．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点四：探求充要条件 例4．（多选）下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ） A．p：或，q：方程有两个不同的实数根 B．p：，q： C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 D．p：，q： 【变式训练】下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 考点五：充要条件的证明 例5．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【变式训练】已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 1．下列语句是命题的是（ ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 2．设：p：，q：，则p是q成立的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰