专题03 导数及其应用-学易金卷：五年（2019-2023）高考数学真题分项汇编（新高考通用）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编 专题03 导数及其应用 考点一 导数的运算 1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则　　 A． B． C．（4） D．（2） 考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程 2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　 A． B． C． D． 3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　　． 4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　，　 　． 5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 　　． 考点三 利用导数研究函数的单调性 6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　 A． B． C． D． 7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 8．（2022•浙江）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则（a）； （ⅱ）若，，则． （注是自然对数的底数） 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点． ①，； ②，． 11．（2021•浙江）设，为实数，且，函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足． （注是自然对数的底数） 12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 13．（2020•海南）已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求的取值范围． 14．（2019•浙江）已知实数，设函数，． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围． 注：为自然对数的底数． 考点四 利用导数研究函数的极值 15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　 A． B． C． D． 16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　 A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 考点五 利用导数研究函数的最值 18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值． （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年（2019-2023）年高考真题分项汇编 专题03 导数及其应用 考点一 导数的运算 1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则　　 A． B． C．（4） D．（2） 【解析】为偶函数，可得，关于对称， 令，可得，即（4），故正确； 为偶函数，，关于对称，故不正确； 关于对称，是函数的一个极值点， 函数在，处的导数为0，即， 又的图象关于对称，，函数在，的导数为0， 是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，， 由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，， 进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称， ，关于的对称点为，，，故正确； 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误． 解法二：构造函数法， 令，则，则， ， 满足题设条件，可得只有选项正确， 故选：． 考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程 2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　 A． B． C． D． 【解析】法一：函数是增函数，恒成立， 函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方， 如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立． 点在轴或下方时，只有一条切线． 如果在曲线上，只有一条切线； 在曲线上侧，没有切线； 由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知． 故选：． 法二：设过点的切线横坐标为， 则切线方程为，可得， 设，可得，，，是增函数， ，，是减函数， 因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线． 故选：． 3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　　． 【解析】，设切点坐标为，， 切线的斜率， 切