不等式的性质及含绝对值不等式 讲义-2022-2023学年中职高一数学高教版（2021）基础模块（学测复习）

学测复习2023.6 专题 不等式的基本性质及区间 知识点一 实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 知识点二 比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 题型 比较实数的大小 【例1】．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　 　) A．a＞b　　　　　　 B．a＜b C．a≥b D．a≤b 【例2】若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__ _． 【练习】 1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　 　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 2．若x∈R，y∈R，则(　 　) A．x2＋y2＞2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2＜2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 [归纳提升]比较大小的方法 作差法的依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 知识点三 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒ _； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c __b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_ _bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 题型 不等式性质的应用 【例3】(1)若a＜b＜0，则下列结论正确的是(　 　) A．a2＜b2　　　　　B．ab＜b2 C．＞ D．ac2＞bc2 (2)若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是(　 　) A．0 B．1 C．2 D．3 [归纳提升]　判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式】1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 　) A．＞　　　　　　　 B．＜ C．＞ D．＜ 2．已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　 　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 3．给定下列命题： ①0＞a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b＞0；③a＞b⇒＜1；④a＞b⇒a3＞b3． 其中真命题的个数是(　 　) A．0 B．1 C．2 D．3 知识点四 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __ __ {x|a＜x＜b} 开区间 __ _ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __ __ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __ __ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 题型 区间的应用 【例4】　已知集合，集合，求，． 【例5】 设全集为R，集合，集合， （1）求，；（2）求． 【练习】集合A=用区间表示为 . 知识点四 绝对值的定义 知识点五 绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 题型 绝对值不等式的解法 【例6】