专题21 函数的应用(一)-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题21 函数的应用（一） 【知识点梳理】 知识点一　用函数模型解决实际问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． （2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． （3）求模：求解数学模型，得到数学结论． （4）还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 知识点二 常见的函数模型 （1）一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． （2）二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． （3）分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 【题型归纳目录】 题型一：分式型函数模型的应用 题型二：二次函数模型的应用 题型三：分段函数模型的应用 题型四：函数图象与实际问题的交汇 【典例例题】 题型一：分式型函数模型的应用 例1．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强身健体、保障生命安全、增强心肺功能、锻炼意志、培养勇敢顽强精神、休闲娱乐.近几年，游泳池成了新小区建设的标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处，如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元/，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元/.其他设施等支出约为1万元，设游泳池的长为.    (1)试将总造价（元）表示为长度（m）的函数； (2)当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 例2．（2023·高一课时练习）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 例3．（2023·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米． (1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数模型的应用 例4．（2023·高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益f(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)成正比，其关系如图1；投资股票类产品的年收益g(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)的算术平方根成正比，其关系如图2. (1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元? 例5．（2023·高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况： 旋钮的转角 （单位：度） 18 36 54 72 90 所耗燃气量 （单位：） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172 请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？ 例6．（2023·江苏·高一专题练