专题8.1 一元线性回归问题（3类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.1 一元线性回归问题 【基础知识】 1 【考点1：相关系数】 2 【考点2：求回归直线方程】 4 【考点3：一元线性回归模型的应用】 9 【基础知识】 【一元线性回归】 回归 直线 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 回归 方程 回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－ 相关 系数 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性 [方法技巧] 判断相关关系的两种方法 (1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． (2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强．　　 1．回归直线方程中系数的两种求法 (1)公式法：利用公式，求出回归系数，. (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数． 2．回归分析的两种策略 (1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.　　 【考点1：相关系数】 【知识点：相关系数】 1．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在变量与x的回归模型中，根据下面四个的相关系数，判断拟合效果最好的是（    ） A．模型1的相关系数为0.2 B．模型2的相关系数为0.3 C．模型3的相关系数为0.9 D．模型4的相关系数为0.8 2．（2023·河南安阳·统考二模）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（    ）． A． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.949 5.491 0.499 B． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.933 4.179 0.436 C． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 1.701 0.141 D． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 2.899 0.326 3．（2023·全国·高二专题练习）关于相关系数r，下面说法正确的是（    ） A． B．若，则两个变量线性不相关 C．若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D．越小，变量之间的线性相关程度越高 4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）在回归分析中，下列说法正确的是（    ） A．相关系数，表示变量之间具有正相关关系 B．相关系数的绝对值越接近1，说明相关性越弱 C．点所对应的残差是指 D．越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好 5．（2023·全国·高三专题练习）某专营店统计了近五年来该店的创收利润y（单位：万元）与时间（单位：年）的相关数据，列表如下： 1 2 3 4 5 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01，若，则认为y与t高度相关，可用线性回归模型拟合y与t的关系）． 6．（2023·全国·高三专题练习）某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（件）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据： 产量x/件 1 2 3 4 5 生产总成本y/万元 3 7 8 10 12 试求y与x的相关系数r，并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）． 参考公式： 【考点2：求回归直线方程】 【知识点：求回归直线方程】 1．（2023·高二课时练习）已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（    ） 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格： A区 B区 C区 D区 外来务工人数x/万 3 4 5