第一讲 因式分解（初升高衔接必备）-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

第1讲 因式分解 知识点总结 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。 一、公式法(立方和、立方差公式) 在我们已经学习了乘法公式中的完全平方公式和平方差公式，还有两组公式需要学生掌握，即立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 重点题型展示 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式： （1）； （2）． 3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 例3　把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）． 基础题型训练 一、单选题 1．把x3－xy2分解因式，正确的结果是(　　)． A．(x＋xy)(x－xy) B．x(x2－y2) C．x(x－y)2 D．x(x－y)(x＋y) 2．下列选项从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形是因式分解的是(　　) A．(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B．a2﹣6a+5=a(a﹣6)+5 C．x2﹣y2+2x+1=(x+y)(x﹣y)+2x+1 D．(x﹣y)2﹣2(x﹣y)+1=(x﹣y﹣1)2 4．已知a＋b=10，ab=6，则a2b+ab2的值为（　　） A．120 B．80 C．60 D．40 5．若，，则代数式的值为（） A． B． C．1 D．6 6．已知P＝8x2－y2＋6x－2，N＝9x2＋4y＋13，则P和N的大小关系是(　　)． A．P＞N B．P＝N C．P＜N D．不能确定 7．在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是（    ）． A．a2－6a B．a2－ab+b2 C．a2－ab+b2 D．a2－ab+b2 8．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 9．已知，，则代数式的值是（   ） A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6 10．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．xy2（x﹣1）=x2y2﹣xy2 B．2a2+4a=2a（a+2） C．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D．x2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1 二、填空题 11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝3，D为BC边上的点，BD•DC＝16，则AC＝________． 12．多项式a4b﹣6a3b+9a2b分解因式的结果为_________________________________． 13．分解因式：x2y2－2xy＋1＝_______． 14．若△ABC三边、、满足，则△ABC是___________三角形． 15．已知，，则的值是______． 16．分解因式：___________． 三、解答题 17．分解因式： 18．因式分解： （1）； （2）． 19．因式分解： （1）3ax2﹣6axy+3ay2 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2 20．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）分解因式： 21．先阅读下列材料，然后回答后面问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等． 如“2＋2”分法： ax＋ay＋bx＋by ＝（ax＋ay）＋（bx＋by） ＝a（x＋y）＋b（x＋y） ＝（x＋y）（a＋b） 如“3＋1”分法： 2xy＋y2﹣1＋x2 ＝x2＋2xy＋y2﹣1 ＝（x＋y）2﹣1 ＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y； （2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2； （3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b