10.1 集中趋势与离散程度（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

10.1 集中趋势与离散程度 知识 能力与素养 能用正确的数学符号表示算术平均数、中位数、极差、方差、标准差和离散系数；能求出算术平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差和离散系数；能用统计参数比较两组数据的集中趋势与离散程度． 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养． 学习目标 学习重难点 重点 难点 描述样本集中趋势与离散程度的统计参数的求解. 用统计参数比较样本数据的集中趋势与离散程度. 教材分析 本课从两名短道速滑运动员备战 2022 年北京冬奥会训练成绩入手，引导学生思考如何判断样本数据集中在哪个数据附近，引出集中趋势，进而介绍常用的表示集中趋势的三个参数；然后从“复兴号高铁某种零件招标”引出对于样本离散程度的思考，在初步对数据的集中趋势与离散程度有个简单的对比的基础上，为下面学习具体的表示数据离散程度的统计量做铺垫． 学情分析 学生在初中已学习了平均数、中位数，具备了一定的数据处理能力和初步的统计思想但学生对数据的波动情况不太了解，它们是否稳定，稳定的依据是什么，学生缺乏直观和理性的认识. 教学工具 教学课件 课时安排 4课时 教学过程 在基础模块中，我们学习了通过抽样来收集数据、 分析数据、理解数据中蕴含的信息，用样本的频率分布估计总体的频率分布.用样本均值和样本方差体现样本的集中趋势和离散程度. 本章我们将进一步学习如何用样本数据估计总体的集中趋势和离散程度，从而更好地用样本数据估计总体的特征. 10.1.1 集中趋势 （一）创设情境，生成问题 为了备战 2022 年北京冬季奥运会，甲、乙两名短道速滑运动员按计划进行速滑训练.在某天的训练中，他们随机抽取的 5 次训练成绩 ( 单位：s）如下: 甲：40.7，41.2，39.9，40.3，41.9；乙：41.3，39.7，41.4，40.0，41.8. 分析上述数据，你能估计出谁的训练成绩更好吗？ 【设计意图】结合实时热点激发学生学习兴趣，创设学习情境. （二）调动思维，探究新知 可以从集中趋势的角度分析这些样本数据的分布特征，估计哪一名运动员的训练成绩更好. 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在.常用的表示集中趋势的统计量有算术平均数、 中位数和众数等. 1.算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数称为这组数据的算数平均数.设这组数据为 x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为 计算可得，上述“情境与问题”中两位运动员的 5 次训练成绩的算术平均数分别为 =40.80，=40.84 ，因为 所以估计甲训练成绩更好. 可以看出，算术平均数的计算方法与基础模块中样本均值的计算方法是一致的，所以算术平均数也称为算术均值. 在某些实际问题中，不同样本数据的重要程度可能不同，从而对集中趋势产生不同的影响，若一组数据为 x1，x2，…，xn，它们出现的频数分别为 f1，f2，…，fn，则 称为这组数据的加权算术平均数，其中 fk 也称为样本数据 xk 的权重. 显然，加权算术平均数不仅依赖于样本数据，还依赖于样本数据的权重.容易看出，当权重 f1，f2，…，fn 相等时，样本数据的加权算术平均数就是它们的算术平均数.因此，算术平均数是加权算术平均数的特例. 【设计意图】注意分析 “算术平均数是加权算术平均数的特例”，其实两个平均数并没有本质的区别. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】某校调研全体学生的日 睡眠时间，随机抽取了 100 名学生进行调查，得到的日睡眠时间数据见下表. 根据表中的数据，估算该校学生的日平均睡眠时间. 解 由题意可知，样本数据为：6，6.5，7，7.5，8，8.5.它们的权重分别为：11，16，27，30，10，6. 于是，样本数据的加权算术平均数 因此,该校学生的日平均睡眠时间约为 7.15h. 算术平均数和加权算术平均数在统计学中具有重要地位、是进行统计分析和推断的基础. 但是，它们对极端数据值反映很灵敏，容易受 到极端数据值的影响，作为反映集中趋热的统计量有时并不准确. （四）调动思维，探究新知 2.中位数 一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数或者位于中间位置的两个数的算术平均数称为中位数， 记为 Me. 例如，数据 4，2，7 的中位数是 4；数据 4，2，7，5 的中位数是 4.5. 设一组数据从小到大排列为 x(1),x(2),…,x (n)，则当 n为奇数时，中位数恰为中间位置的数，即 当 n 为偶数时，中位数是中间位置的两个数值的算术平均数，即 容易看出，中位数以其居中的位置体现了这组数据的集中趋势，并且不受极端数据值的影响，当一组数据中出现极端数据值时，用中位数反映集中趋势比用算术平均数更准确. 但