21.2.2.1 一元二次方程根的判别式课件 2022-2023学年人教版九年级数学上册

21.2.2.1 一元二次方程根的判别式 1．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 2．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围． 学 习 目 标 问题 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 新 课 导 入 我们可以用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． 移项，得 二次项系数化为1，得 合 作 探 究 4 配方，得 即 ∵a≠0，∴4a2＞0． 式子b2－4ac的值有以下三种情况: （1） （2） （3） 合 作 探 究 判别式的情况 一元二次方程根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ≥0 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac． ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 合 作 探 究 一元二次方程 Δ的值 根的情况 按要求填表： 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 合 作 探 究 3．判断根的情况，得出结论． 1．化为一般式，确定a，b，c的值． 根的判别式的使用方法 2．计算Δ的值，确定Δ的符号． 合 作 探 究 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4， ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 典 例 精 析 这里a＝4，b＝－12，c＝9． ∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 解：（2）把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0． 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 典 例 精 析 解：（3）把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0． 这里a＝5，b＝－6，c＝5． ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0， ∴原方程没有实数根． 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 典 例 精 析 例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 解:（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0， 解不等式，得k＜． ∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0， 故k的取值范围是k＜且k≠0． 典 例 精 析 例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 解：（2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2， 则方程为2x2－3x＋1＝0． 应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝． 典 例 精 析 （1）运用根的判别式时，必须将方程化为一般形式． （2）方程有两个实数根时，Δ≥0． （3）无法确定方程是否为一元二次方程时，应分类讨论． 典 例 精 析 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． 解:（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0， 解得k＝36． 此时方程为x2－12x＋36＝0， 解得x1＝x2＝6． 长为3，6，6的线段能构成等腰三角形． 拓 展 提 升 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． （2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根． 把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27， ∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9． ∵3＋3＜9， ∴长为3，3，9的线段不能构成三角形， ∴k＝27不符合要求． 综上，k的值为36． 拓 展 提 升 1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根 解析：∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0， ∴此方程没有实数根． 随