第二十七章 相似专项拓展训练（一） 2022-2023学年人教版数学九年级下册

《第二十七章　相似》专项拓展训练（一） 专项 相似三角形的常见模型 类型1 A型及其变形 1. [2021河北石家庄二十七中月考]如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判定△ADE∽△ACB的是(　　) A.∠AED=∠ABC B.∠ADE=∠ACB C.= D.= 2. [2021辽宁省实验中学月考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB 于点G,若EF=EG,则CD的长为　. 3.【基础巩固】(1)如图1,在△ABC中,点D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD·AB. 【尝试应用】(2)如图2,在▱ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD延长线上一点,∠BFE =∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长. 【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E是AB上一点,点F是△ABC内一点,EF∥ AC,AC=2EF,∠EDF=∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长. 图1　　　 　　　　　图2　　　　 　　　图3 类型2　8型及其变形 4. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且∠ABD=∠ACD. 求证: (1)=; (2)∠DAC=∠CBD. 5. [2020河南郑州外国语中学期中](1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目: 如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3,BO∶CO=1∶3,求AB的长. 经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD可以解决问题(如图1).请你帮助社团求出AB的长. (2)请参考(1)中思路,解决如下问题: 如图2,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长. 类型3　双垂直型 6. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似的三角形有(　　) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 7. 如图,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE=EC,ED的延长线交AB的延长线于点F.求证:=. 类型4　手拉手型 8. [2021河北石家庄期末]如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后,仍不能判定△ABC与△ADE相似的是(　　) A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.= D.= 9. 如图,在△ABC与△ADE中,D在BC上,∠1=∠2=∠3.若AB=4,AD=2,AC=3,则AE的长为(　　) A. B. C.2 D. 10. [2022河北唐山路北区二模]在锐角三角形ABC中,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数; (2)如图2,连接AA1,CC1,求证:△CBC1∽△ABA1. 类型5　一线三等角型(K型) 11. [2021四川遂宁期中]如图,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B. (1)求证:△ABP∽△PCD. (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长. 12. (1)如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,点P在BC上,∠B=∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD. (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在边BC上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD. (3)应用:如图3,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上,若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8,CE=6,求DE的长. 参考答案 1.C　【解析】　A项,∵∠AED=∠ABC,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故A不合题意;B项,∵∠ADE = ∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故B不合题意;D项,∵=,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故D不合题意. 2.4　【解析】　解法一　如图,过点D作DM⊥BC交AB于点M,易知DM∥EG,DC∥EF,所以△AEG∽△ADM,△AFE∽△ACD,所以=,=,所以=,因为EG=EF,所以DC=DM,设CD=x,则DM=x,因为∠ACB=90°,DM⊥BC,所以DM∥AC,所以△BDM∽△BCA,所以=,即=,解得x=4. 解法二　如图,延长FE交AB于点M,则Rt△EMG∽Rt△CBA,∴===2,∵EF=EG,∴=2.易得=,=,∴=,∴==2,∴CD=BC =×12=4. 3.【分析】　(1)先证明△ADC∽△ACB,得到对应边成比例,再由比例的性质即可证明;(2)结