2.5.1 直线与圆的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆位置关系的判断 1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 答案　C 解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．故选C. 2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C. 3．若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．试分别求实数a的取值范围． 解　解法一(代数法)：由方程组 消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0， Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000. (1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90000>0， 解得－50<a<50. (2)当直线与圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50. (3)当直线与圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50. 解法二(几何法)：圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝＝. (1)当直线与圆相交时，d<r，即<10，－50<a<50. (2)当直线与圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50. (3)当直线与圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50. [名师点拨]　判断直线与圆的位置关系应注意的问题 (1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系． (2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算． 提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标． 知识点二　直线与圆相交的有关问题 4．(2023·福建泉州一中期末)在平面直角坐标系Oxy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.故选D. 5．若直线kx－y＋1－2k＝0与圆x2＋y2＝9交于M，N两点，则弦长MN的最小值为________． 答案　4 解析　由圆x2＋y2＝9可得圆心O(0，0)，半径为3.直线kx－y＋1－2k＝0，即k(x－2)－y＋1＝0，直线过定点P(2，1)，又因为22＋12<9，所以点在圆的内部．当圆心到直线MN的距离最大时，弦长MN最小，此时OP⊥MN，此时|MN|＝2＝2＝4. 6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________． 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kABkMC＝－1⇒kAB＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 知识点三　切线问题 7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x＋y＋1＝0相切，则圆C的方程为________． 答案　x2＋(y－1)2＝2 解析　在直线方程x－y＋1＝0中，令x＝0，可得y＝1，故圆心为C(0，1)，所以圆C的半径为r＝＝.因此圆C的方程为x2＋(y－1)2＝2. 8．(2023·河北保定二中高二期中)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B，则四边形PAOB面积的最小值为________． 答案　8 解析　如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2＝2.为使四边形PAOB的面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，|OP|min＝＝2.故四边形PAOB面积的最小值为2＝8. 9．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，直线l被圆C截得的弦长为2. (1)求a的值； (2)求过点(3，5)并与圆C相切的切线方程． 解　(1)∵圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4的圆心为C(a，2)，半径r＝2， 而圆心C到直线l： x－y＋3＝0的距离d＝， 依题意，得2＝2， ∴d＝＝，解得a＝－3