2.4.1 圆的标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

2．4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 知识点一　圆的标准方程 1．[多选]对于圆C：(x－1)2＋y2＝2，下列说法正确的是(　　) A．圆C的圆心坐标为(－1，0) B．圆C的圆心坐标为(1，0) C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为 答案　BD 解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝2，所以圆C的圆心坐标为(1，0)，圆C的半径为.故选BD. 2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．一个圆和两条射线 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　B 解析　(x－1)＝0可化为 或x2＋y2＝3，因此该方程表示一个圆和两条射线(如图)． 知识点二　点与圆的位置关系 3．(2023·江苏苏州中学高二期中)若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C. D. 答案　A 解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1.故选A. 4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，5) C．(0，5) D．[0，5] 答案　C 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5.故选C. 知识点三　求圆的标准方程 5．(2023·河北衡水中学期末)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 答案　x2＋(y－1)2＝1 解析　由点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，得所求圆的圆心为(0，1)，又圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 6．(2023·辽宁名校高二联考)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________． 答案　(x＋2)2＋＝ 解析　不妨设直线3x－4y＋12＝0与x轴和y轴的交点分别为A，B，令y＝0，得x＝－4，即A(－4，0)；再令x＝0，得y＝3，即B(0，3)，从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，又因为|AB|＝＝5，所以所求圆的半径为，从而以线段AB为直径的圆的标准方程为(x＋2)2＋＝. 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，求圆C的标准方程． 解　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)， 由题意，知＝， 解得a＝2，∴C(2，0)， 则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. [名师点拨]　用直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，首先要求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． 8．已知圆心在直线x－2y－3＝0上的圆C过点A(2，－3)和B(－2，－5)，求圆C的方程，并判断点M(3，－1)，N(1，－2)是在圆上、圆内，还是圆外？ 解　∵AB的中点为(0，－4)，直线AB的斜率为＝. ∴线段AB的中垂线方程为2x＋y＋4＝0. 联立方程组解得 即所求圆的圆心为C(－1，－2)， ∴圆的半径r＝|AC|＝＝， ∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10， ∵(3＋1)2＋(－1＋2)2＝17>10，故点M在圆外， ∵(1＋1)2＋(－2＋2)2＝4<10，故点N在圆内． 9．(2023·湖北宜昌一中高二期中)在平面直角坐标系Oxy中，已知A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)四点，这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的标准方程；如果不是，请说明理由． 解　设经过A，C，D三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以 解得 所以经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点B也在这个圆上， 因此，A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)四点都在圆(x－2)2＋(y－2)2＝5上． [规律方法]　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 一、选择题 1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 答案　C 解析　∵sin230°＋cos230°＝1>，∴点(sin30°，cos30°)在圆外． 2．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2关于直线x－y＝0对称的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋2)2＋(y＋1)2＝2 答案