3.2.2 第1课时 双曲线的几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

3．2.2　双曲线的几何性质 学业标准 素养目标 1．掌握双曲线的几何性质．(重点) 2．能够根据双曲线的标准方程画出双曲线的图形．(重点) 3．能用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．(重点、难点) 通过研究双曲线的几何性质及通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养． 第1课时　双曲线的几何性质 [教材梳理] 导学　双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示，探究下面问题． 　从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ [提示]　有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. 　观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？若是，对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？若是，对称中心是哪个点？ [提示]　关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 　双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？ [提示]　不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． ◎结论形成 1. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≤－a或y≥a__ 对称性 对称轴：__坐标轴__，对称中心：__原点__ 顶点 __(－a，0)__，__(a，0)__ __(0，－a)__，__(0，a)__ 轴长 实轴长＝__2a__，虚轴长＝__2b__ 离心率 __e＝>1__ 渐近线 __y＝±x__ __y＝±x__ 2．等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：在双曲线方程－＝1中，如果a＝b，那么方程可化为__x2－y2＝a2__，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线相互垂直． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)双曲线－＝1的顶点坐标是(　　) A．(5，0)　　　　　 B．(0，±3) C．(－5，0) D．(±4，0) 答案　AC 3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C.y＝±x D．y＝±x 解析　双曲线标准方程为x2－＝1 ∴a＝1，b＝，渐近线方程为y＝±x. 答案　C 4．(2022·徐州高三期末)若双曲线C：－＝1的离心率为，则C的两条渐近线的夹角等于________． 解析　因为双曲线的离心率为e＝＝，所以c＝a， 又因为c2＝a2＋b2，所以2a2＝a2＋b2，解得a＝b， 所以双曲线的一条渐近线为y＝x，倾斜角为，所以两条渐近线的夹角等于. 答案　 题型一　双曲线的几何性质　一题多变 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [自主解答]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x. [母题变式] (变条件)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解析　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. [规律方法]　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． [触类旁通] 1．求双曲线9x2－16y2＋144＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图． 解析　把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为－＝1. 由此可知，实半轴长a＝3； 虚半轴长b＝4； c＝＝＝5， 焦点坐标为(0，－5)，(0，5)； 离心率e＝＝； 渐近线方程