1.1.2空间向量的数量积运算（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.2空间向量的数量积运算 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 2 自学与预习基础检测 3 考点剖析 3 考点一：数量积的计算 3 考点二：数量积与垂直问题 4 考点三：利用数量积求解模 5 考点四：利用数量积求夹角 5 考点五：利用数量积求长度 6 考点六：利用数量积求投影 7 课堂练习 7 1.理解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题． 概念一：空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 概念二：空间向量的数量积 1.空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b． 2.空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0； ②a·a＝|a|2＝a2； ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)； ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 3.向量的投影： 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. 4.数量积的几何意义 a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. （1）．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． （2）．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 1.当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 2.向量的数量积运算不满足结合律 (a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 3.对于向量 a，b，若a·b＝k，不能写成a＝？ 因为向量没有除法． 4.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解． 1.若，则或( ) 2.若，则λ＝0或( ) 3.若，则或( ) 4.向量与的夹角等于向量与的夹角( ) 5.对于非零向量，由，可得( ) 6.对任意向量，，满足( ) 7.对于向量，，，有( ) 8.若非零向量，为共线且同向的向量，则( ) 1.已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（       ）． A．15 B．3 C． D．5 2.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 3.已知向量和的夹角为120°，且，则等于（       ） A．12 B． C．4 D．13 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（       ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 1.已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（       ） A．垂直 B．同向共线 C．反向共线 D．以上都可能 3.已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（       ） A． B． C． D． 4.已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（       ）． A．7 B． C．28 D．11 5.如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 1.已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（       ） A． B． C． D．4 2.在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（       ）