第2章 3.2 抛物线的简单几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

3．2　抛物线的简单几何性质 知识点一　抛物线的几何性质 1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A. B. C. D．0 答案　B 解析　抛物线y＝4x2的准线方程是y＝－，设M(x，y)，由抛物线的定义知，y＋＝1，所以y＝. 2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，±2) B．(±4，2) C．(±2，4) D．(2，±4) 答案　D 解析　抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有⇒所以符合题意的点为(2，±4)．故选D. 3．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)P是抛物线上一点，点Q(4，0)，求|PQ|的取值范围； (3)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)设P(x0，y0)，则y＝8x0(x0≥0)， |PQ|＝＝＝≥＝4， 当且仅当x0＝0时，|PQ|min＝4， 所以|PQ|的取值范围是[4，＋∞)． (3)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴， 设垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3，0)． 将x＝3代入y2＝8x得y2＝24， 所以y＝2或y＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 4．以x轴为对称轴的抛物线截过焦点且与对称轴垂直的直线所得线段的长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 答案　C 解析　依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C. 5．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝2y B．x2＝2y或x2＝－2y C．x2＝4y D．x2＝4y或x2＝－4y 答案　D 解析　由题设知抛物线的焦点坐标为(0，1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y.故选D. 6．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 答案　C 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 7．已知抛物线的离心率为e，焦点坐标为(0，e)，则抛物线的标准方程为________． 答案　x2＝4y 解析　由e＝1，得焦点坐标为(0，1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y. 8．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程． 解　①当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)． 将点M(1，－2)的坐标代入，得m＝4， ∴y2＝4x. ②当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)． 将点M(1，－2)的坐标代入，得n＝－， ∴x2＝－y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 知识点三　抛物线性质的应用 9．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　C 解析　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8. 10．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 解　如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处． 在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>