第07讲用空间向量研究距离、夹角问题（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2018选择性必修第一册）

第07讲用空间向量研究距离、夹角问题（4种题型） 【知识梳理】 一．异面直线及其所成的角 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 4．空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 二．空间向量的夹角与距离求解公式 1．空间向量的夹角公式 设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）， cos＜＞＝＝ 注意： （1）当cos＜＞＝1时，与同向； （2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向； （3）当cos＜＞＝0时，⊥． 2．空间两点的距离公式 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 dA，B＝||＝＝． 【解题思路点拨】 1．求空间两条直线的夹角 建系→写出向量坐标→利用公式求夹角 2．求空间两点的距离 建系→写出点的坐标→利用公式求距离． 三．直线与平面所成的角 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角． 用空间向量直线与平面所成角的求法： （1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得． （2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝． 四．二面角的平面角及求法 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）