第06讲用空间向量研究直线、平面的位置关系（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲用空间向量研究直线、平面的位置关系（4种题型） 【知识梳理】 一．向量的数量积判断向量的共线与垂直 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ． 共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y． 空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）•＝||||cos＜，＞； （2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）； （3）||2＝2，||＝． 2．向量的坐标运算 ＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3） 向量和 +＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 ﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 •＝a1b1+a2b2+a3b3 共线 ∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 ⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos＜，＞＝ 二．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）； （2）列：根据＝0，＝0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 三．平面的法向量 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）； （2）列：根据＝0，＝0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 四．向量语言表述线面的垂直、平行关系 1．直线与平面平行 （1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得： l∥α或l在α内⇔存在两个有序实数（x，y）使 （2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立． 2．线面垂直： （1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥⇔＝k； （2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 【考点剖析】 一．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共8小题）