第04讲 空间直角坐标系（2种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间直角坐标系（2种题型） 【知识梳理】 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点，则此两点间的距离 . 特别地，点与原点间的距离公式为. 2.空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 【考点剖析】 题型一：空间坐标系 例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E、F的坐标。 例2．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。 （1）求各顶点的坐标； （2）求棱C1C中点的坐标； （3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。 【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标． 例3．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下： （1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）； （2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）； （3）关于轴的对称点是P（－x，y）． 那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为： ①关于原点的对称点是P1________； ②关于横轴（x轴）的对称点是P2________； ③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________； ④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________； ⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________； ⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________； ⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________． 【变式1】在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（ ） A．（―1，2，3） B．（―1，―2，3） C．（1，2，―3） D．（1，―2，―3） 【变式2】（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）． A．（－2，1，－4） B．（－2，－1，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4） （2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）． A．（－2，1，－4） B．（－2，－l，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4） 【变式3】如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（ ） A．（6，2，1） B．（1，2，6） C．（4，6，2） D．（2，6，1） 题型二：两点间的距离公式 例4．空间坐标系Oxyz中，点A在x轴上，点B（1，0，2），且，则点A坐标为________． 例5．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。 【变式1】在空间中，已知点A(1,0, －1)，B(4,3, －1)，求A、B两点之间的距离. 【变式2】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离． 【变式3】四棱锥S—ABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，E是侧棱SC的