9.2.4 总体离散程度的估计 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计 学习目标 1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度. 2.理解并掌握方差、标准差计算和应用 3.理解掌握分层随机抽样的方差 1 知识回顾 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 众数：最高矩形的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 总体集中趋势的估计 2 总体离散程度的估计 引例 ：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 思考：两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ 问题1 如何评价？ 如何选择？ 甲：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙：5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 结论2：甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中 平均数、中位数、众数都是7 结论1： 问题2 ：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，还有什么数字特征能度量甲和乙的差异？ 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 极差 甲的成绩波动范围比乙的大 甲的极差=10-4=6 乙的极差=9-5=4 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度. 但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大. 方差与标准差 问题3 ： 你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 成绩很稳定 离平均成绩不会太远 波动幅度很大 离平均成绩会比较远 通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的 “平均距离”来度量成绩的波动幅度. 问题4：什么叫做平均成绩的“平均距离”？ 假设一组数据是x1, x2, …, xn， 用 表示这组数据的平均数 为 到 的距离 平均距离 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离” 想一想，为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 方差 有时为了计算方便，还把方差写成： 方差 刻画一组数据离散程度的统计量 = 知识梳理 （1）方差、标准差的定义 一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，这组数据的方差为 s2 =____________=____________，. 思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方. 这组数据的标准差为s= 知识梳理 （2）总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称 S2=_______________为总体方差，S=________为总体标准差 ． 加权形势总体方差：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…， k），则总体方差为 知识梳理 （3）样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，则称 s2=_______________为样本方差，s=________为样本标准差 ． （4）特征： 标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定． 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______. 离散 大 小 标准差 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你