9.2 正态分布（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

9.2 正态分布 知识 能力与素养 了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方法． 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养． 学习目标 学习重难点 重点 难点 正态分布的概念；正态分布的概率计算. 正态分布在实际问题中的简单应用. 教材分析 本课从高尔顿钉板实验引入，借助频率分布直方图引出了正态曲线和正态分布的概念．正态曲线方程是一个非常难的知识点，课标并没有对此提出要求，教学中可一带而过． 学情分析 学生已学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和折线图，部分学生会用数形结合思想研究一些简单的数学问题，但本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量得到连续型随机变量的分布密度函数，对学生来说是一个挑战. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 在日常生活和生产实践中，经常还会遇到这样一类随机变量，它们受众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服从或近似服从正态分布. 如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示 钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入口处放入一个直径小于两颗钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以0.5 的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内.试作小球落入空槽内的频率分布直方图. 【设计意图】创设情境，引出课题. （二）调动思维，探究新知 把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图. 如果把上述小球落入的区间从左往右编号 1,2,…,10,那么区间的编号 ξ 可以看做离散型随机变量. 若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲,称为正态曲线.相应 于上述正态曲线，其随机变量 ξ 的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量. 对于上图所示的正态曲线，可以用左图中阴影部分的面积 F(x1<5<x2)表示连续型随机变量 ξ 取值于区间(x1, x2)的概率，用右图中阴影部分的面积 F(x)表示连续型随机变量 ξ 取值于区间(-∞, x)的概率，容易看出，对于随机变量 ξ 的每一个值 x 都有唯一的 F(x)与之相对应，称 F(x)为连续型随机变量 ξ 的正态分布. 研究表明，正态曲线的方程为 其中 σ 和 μ 是两个参数.习惯上,与正态曲线 f(x)对应的正态分布记为 N(μ, σ ²).有时，也说随机变量 ξ 服从参数为 σ 和 μ 的正态分布，记作 ξ ~ N(μ, σ ²). 在生产实践和科学研究中，经常会遇到类似的随机现象. 如，测量的误差、某地区人群的身高、某月的平均气温等. 图中画出的是 μ=0 时某些正态曲线. 可以看出，正态曲线具有以下基本性质： (1)曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x=μ 对称； (2)曲线在 x=μ 时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状； (3)当 μ 确定时，曲线的形状依赖于 σ 的取值. σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 参数 μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1). 当随机变量 ξ 服从标准正态分布时，将 ξ 的取值小于 x 的概率记作 Φ(x)，即 Φ(x)=P(ξ<x)，其几何意义是图中的阴影部分的面积. 一般地， Φ(x可通过查标准正态分布表(见附录)得到. 可以证明 Φ(x)有如下性质： Φ(-x)=1-Φ(x). 当随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ, σ²)时，有以下计算公式. 【设计意图】教学中，只要求学生记住会用即可，对公式的推导证明可做简单的解释说明，不进行深入研 究；学生了解指导知道即可；此处要求较低，只作了解要求. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】若 ξ ~N(0,1)，查表计算： (1) P(ξ <2.8) ； (2) P(ξ≥2)； (3) P(ξ <-1). 解 (1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974 ； (2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ； (3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587. 【典例2】若 ξ ~N(0,2²)，查表计算： (1) P(ξ <3) ； (2) P(ξ≥-2). 解： 【设计意图】例 1和例2 直接应用标准正态分布和整体分布知识计算求值解决问题. 温馨提示 研究表明，服从正态分布 N(μ,σ