2022-2023学年高二物理竞赛课件：物理逻辑代数的基本定理

物理逻辑代数的基本定理 物理逻辑代数的基本定理 代入定理 内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。 利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式 说明： 1. A＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉； 2. A＋AB＝A＋B：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除； 3. AB＋A B ＝A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子； 4. A（A＋B）＝A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉 5.AB＋A  C＋BC ＝ AB＋A  C ：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉； 公式AB＋A  C＋BCD ＝ AB＋A  C 的原理和上述相同 6. A（A B） ＝A B  ：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉； 7. A  （A B） ＝A  ：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项 以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础 证明：方程的左边有A的地方代入G得： B[(A十D)十C] ＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC 方程的右边有A的地方代入G得： B(A十D)十BC＝BA十BD十BC 故 B[(A十D)十C] ＝ B(A十D)十BC 例2.4.1 若B(A十C)＝BA十BC，现将所有出现A的地方都代入函数G＝A十D，则证明等式仍成立       证明：设G＝BC 代入公式左右的B中 同理设G＝B＋C代入式子左右的B 例2.4.2 试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况 可得 故： 可得 内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”, “+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数） Y 。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数 的反函数。 2. 反演定理 注意：1. 变换中必须保持先与后或 的顺序； 2. 对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变； 解：由摩根定理 或直接求反 例2.4.3 已知Y＝A（B＋C ）＋C D ，求Y  解：由反演定理 例2.4.4 若 Y＝[（A  B）  ＋C＋D]  +C，求反函数 或直接求反得 3.对偶规则 对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“·”， “.”换成与“+” ，“1” 换成与“0”， “0” 换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。 如： 10 对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等，Vice versa。利用对偶式可以证明一些常用公式 例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律 A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立 证明：设Y＝ A＋BC，G＝ (A+B)(A+C)，则它们的对偶式为 由于 故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C) 证明：设 则它们的对偶式为 由于 故Y＝G，即 例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律A＋AB＝A＋B 式子成立 12 $