专题06 导数大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（新高考云南专用）

专题06 导数大题综合（新高考云南专用） 一、解答题 1．（2023·云南·统考模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分析的符号，进而可得的单调性． （2）要证，需证，即证，令，只需证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的定义域为， 由，得，由，解得， 由，解得 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极小值为，无极大值. （2）解：因为， 所以要证，即证， 所以， 令， 则， 设，则， 所以在单调递增， 所以在单调递增， 当时，；当时，， ，， 所以存在使得，即①， 所以在上，，单调递减， 在，上，，单调递增， 所以，② 由①得代入②中，， 所以， 所以． 2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数. (1)若且存在零点，求实数a的取值范围； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解； (2)根据不同取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解. 【详解】（1）因为，所以， ①当时，，此时在单调递增， 所以在存在唯一零点， 所以在存在唯一零点； ②当时，，所以在无零点； ③当时，，， 此时在单调递减，单调递增， 所以 ，且 ， 若存在零点，则只需要即可， 所以， 由①②③可得，实数的取值范围； （2）①当时，，此时在单调递增， 当时与恒成立矛盾； ②当时，，则，所以， ③当时，，， 此时在单调递减，单调递增， 所以 ， 令，所以， ，， 所以在单调递增，单调递减， ，所以 由①②③可得，的最大值为. 3．（2023·云南·校联考二模）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再求出切点即得解； （2）令，再对分和两种情况讨论，求出函数的单调性，分析函数图象即得解. 【详解】（1）当时，，所以切线的斜率为， 又， 所以切线方程为， 所以切线方程为. （2）令，则 ①当时，． 由得，故在上单调递减，在上单调递增． 若，即，则在上单调递增，故，符合题意； 若，即，则在单调递减， 故当时，，不符合题意． 所以当时，实数a需满足．                    ②当时，． 由①知，，故在上单调递增． 若，即，则，在上单调递减， 故，符合题意； 若，即， 由于， 故存在唯一，使得，则在上单调递增， 故当时，，不符合题意． 所以当时，实数a需满足． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：处理函数不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）转化为求函数的最值，解不等式；（2）分离参数求最值；（3）端点优先法.要结合已知条件灵活选择方法解答. 4．（2023·云南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线l与直线垂直. (1)求切线l的方程； (2)判断在上零点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在上有且只有一个零点，理由见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，然后利用垂直关系求实数a的值，最后求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，讨论函数的零点个数. 【详解】（1）， 所以切线的斜率，由题意，解得. 所以， 所以， 所以切线l的方程为，即. （2）由（1）知，所以， 由，可得， 令， 所以， ①当时，， 所以， 所以在上单调递增， 又因为， 所以在上无零点， ②当时，令， 所以，即在上单调递减， 又因为， 所以存在，使得， 所以在上单调递增，在单调递减， 因为， 所以在上且只有一个零点， 综上所述：在上有且只有一个零点. 5．（2023·云南昆明·校联考一模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，分析导函数的符号即可； （2）利用导函数研究单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）当，，则， 令解得，令解得， 所以在单调递增，在单调递减. （2）由题意可得，， 当时，恒成立，单调递增，故至多有一个零点，不符合题意， 所以，由解得，由解得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以由零点存在性定理可得若有两个零点，则，即， 令，由（1）得在单调递增，在单调递减， 又，所以由解得， 因为， 所以由的在和之间存在一个零点，又， 所以的取值范围为. 6．（2023·云南玉溪·统考一模）已知函数的图像与直线l：相切于点． (1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距； (2)求c与a的函数关系； (3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数