专题11 不等式选讲综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（陕西专用）

专题11 不等式选讲综合（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知定义在R上的函数的最小值为p． (1)求p的值； (2)设，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角不等式分析运算； （2）根据柯西不等式分析运算. 【详解】（1），当且仅当时等号成立． ∴，即． （2）依题意可知， 则由柯西不等式得， ∴，即， 当且仅当时，等号成立． 2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，转化成整式不等式组去求解即可解决； （2）分类讨论，去绝对值值利用分离参数法求实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则化为 或或， 解得或， 所以不等式的解集为. （2），即， 当时，，即， 所以，所以， 所以，因为，所以； 当时，，即，所以， 所以，因为，所以； 综上，. 3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证明； （2）利用柯西不等式证明． 【详解】（1）证明： ，         当且仅当，，时，等号成立. 所以. （2）证明：由柯西不等式得： ， 当且仅当，即，，时，等号成立.     所以. 4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）（1）已知函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）已知正数，满足.证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，去掉绝对值符号即可得到函数图像，结合图像列出不等式即可得到结果； （2）根据题意，由柯西不等式即可证明. 【详解】因为，做出函数图像如图： 由图像可知.若使不等式恒成立， 只需，即或或， 解得或或，即实数的取值范围是. （2）已知正数，满足，由柯西不等式可得 ， 当且仅当，即时等号成立. 5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数. (1)解不等式； (2)已知的最小值为，正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）范围根据x的取值展开，解出不等式即可； （2）根据绝对值的性质求出的最小值，代入上式利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题知，原不等式等价于 或或， 解得不等式的解集为 （2）， 当且仅当时，， ， ， 当且仅当，即时，. 6．（2023·陕西商洛·统考三模）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解； （2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立． 当时，不等式转化为，解得． 当时，不等式转化为，无解． 综上所述，不等式的解集为． （2）由，得． ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为3． 7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设，且. (1)若，求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)8 (2)3 【分析】（1）根据，将所求式子分子“1”替换，结合基本不等式即可得最小值； （2）法1：利用三个数和的完全平方公式变形，再结合重要不等式即可求最小值；法2：利用柯西不等式求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为8. （2）法1： ， 故由已知得， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为3. 法2：，故，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为3. 8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值； （2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，所以，，即， 因为，则. （2）由（1）可知，， 由柯西不等式可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立， 因此，的最小值为. 9．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)当时，求证：. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）分，三种情况解不等式即可求出答案； （2）（方法一）当时，要证即证，由均值不等式即可证明；（方法二）当时，要证即证，由二次函数的性质即可证明. 【详解】（1）解：∵ ∴等价于下列不等式组 ①；或②；或③. ①的解为；②无解；③的解为. ∴不等式的解集为或. （2）证明：（方法一）当时，.