专题10 极坐标与参数方程综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（陕西专用）

专题10 极坐标与参数方程综合（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西商洛·统考三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． (1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； (2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解. 【详解】（1）由 得 ， 得， 即曲线C的直角坐标方程为， 由， ，得直线l的直角坐标方程为； （2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆， 因为曲线C与直线l有两个公共点，必有， 解得，即m的取值范围为. 2．（2023·陕西榆林·统考三模）在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线M，N的极坐标方程； (2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程； （2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，即， 又由，可得， 所以曲线M的极坐标方程为． 由，可得，即， 即曲线N的极坐标方程为. （2）解：将代入，可得， 将代入，可得， 则， 因为，所以， 又因为，所以． 3．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)写出的普通方程和的直角坐标方程； (2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标. 【答案】(1)， (2)，此时 【分析】（1）利用在极坐标下的表达式，即可得出的普通方程和的直角坐标方程； （2）利用点到直线的距离公式，结合三角函数的取值范围即可得出的最小值以及此时的直角坐标. 【详解】（1）由题意， 在（为参数）中，化为普通方程为 在中，， ∵， ∴. （2）由题意及（1）得， 设点，则到直线的距离为：， 当且仅当，即，时， ，此时. 4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为与曲线交于点，. (1)将曲线的参数方程化为极坐标方程； (2)已知是曲线上异于，的两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为极坐标方程即可. （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用，点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果. 【详解】（1）由（为参数）得， （为参数）， 消去得，，即， 将代入上式得，， 曲线的极坐标方程为. （2）设， 将代入得， 则， 由题知，直线的直角坐标方程为， 由（1）知曲线是圆心为，半径为2的圆， 圆心到直线的距离为， 点到直线距离的最大值为， 面积的最大值为. 5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. (1)写出的直角坐标方程和的普通方程； (2)已知点，与相交于，两点，求的值. 【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为； (2). 【分析】（1）把曲线化为，即得曲线的直角坐标方程，把参数方程平方相加得曲线的普通方程； （2）求出曲线的参数方程，联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，再利用直线参数方程的几何意义求解. 【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即， 则曲线的直角坐标方程为， 把参数方程平方相加得曲线的普通方程为. （2）易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为， 则曲线的参数方程为（为参数）， 联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得， 设点，在直线上对应的参数分别为，， 由韦达定理可得，， . 6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (1)求的普通方程和的直角坐标方程； (2)若与有公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据曲线的参数方程与直线的极坐标方程转化为普通方程即可； （2）写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，且 所以的普通方程为. 因为所以的直角坐标方程为. （2）由（1）可设的参数方程为（为参数