专题08 导数大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（文科）（陕西专用）

专题08 导数大题综合（文科）（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求函数的导数，分或两种情况讨论； （2）由，令，，分，或三种情况讨论. 【详解】（1）对函数求导可得， 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，令得， 令得，此时函数在单调递减，单调递增． （2）当时，显然成立． 当时，函数在上单调递增，若， 由可得， ∴， 与矛盾； 当时，函数在单调递减，单调递增， ∴，∵，∴， 即， 令，则， 令得，∴在单调递减，单调递增， ∴，∴， 综上，a的取值范围是． 【点睛】导数恒成立问题方法点睛： 1.含参不等式恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为求函数的最值问题. 2.不能参变分离时，通过构造函数，分类进行讨论，求导得到函数的单调性，求此函数的最值. 2．（2023·陕西西安·统考一模）已知. (1)若时，求的单调区间； (2)当时，.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，再根据导数与单调性的关系，令导函数，解出的范围即为函数的单调区间. （2）先对变形，然后根据变形后的形式构造新函数，转化为求函数的最值问题，从而得出的取值范围. 【详解】（1）定义域为，当时， ， 令，则， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以恒成立. 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意得，令， 由得，由得， 在上单调递减，在上单调递增.. ，即. 令 则恒成立（仅当时等号成立），所以在上单调递减. ， 即实数的取值范围为. 3．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）. 则曲线在点处的切线方程为， 即. （2），即. 令，由条件可知，对任意的恒成立. 因为，所以在上单调递增. 因为，所以当时，，所以. 故实数的取值范围为. 4．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间； （2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果. 【详解】（1）当时，，则， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由得：，即， 令，则定义域为，； 令，恒成立， 在上单调递增，又，， ，使得，即，； 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ， 由此可得图象如下图所示， 恒过定点，斜率为， 若恒成立，结合图象可知：必有，解得：， 实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为图象恒在直线上方的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解. 5．（2023·陕西西安·统考三模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2) 【分析】（1）求导，判断单调性即可求出极值；（2）把恒成立问题转化为在上恒成立，令新函数求最值小于0即可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）∵的定义域为， ∴， 令，得． 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增． ∴函数有唯一的极小值，无极大值． （2）∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，， 则， 由（1）易知在上单调递减，在上单调递增， 又，， ∴， ∴，解得或， ∴实数的取值范围为． 6．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数，其中e为自然对数的底数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：在上有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程； （2）构造研究的单调性并确定其零点所在区间，进而判断的单调性，结合零点存在性定理即可证结论. 【详解】（1）因为，所以，则，， 故所求切线方程为，即. （2）设，则. 显然当时，，当时，， 所以在上单调递增，又，， 所以存在唯一，使. 则当时，，当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 所以在上有两个零点. 7．（2023·陕西西安·校联考模拟