专题04 立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（理科）（陕西专用）

专题04 立体几何大题综合（理科）（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西·统考一模）在四棱锥中，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质和勾股定理，有，，可得面ABCD，则有面面ABCD． （2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：取BD中点O，连接PO，AO． 因为，O为BD中点，所以． 在、中，因为，，， ，所以， 又在中，，所以． 又，，所以， 又，AO，平面ABCD，所以面ABCD， 又面PBD，所以面面ABCD． （2）由于为等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以，由（1）知面ABCD， 以O为原点，OA，OB，OP为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，，， 设平面PAD与平面PBC的法向量分别为，， 由，和得和 令，，则，，设法向量，所成的角为， 则，所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为． 2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）如图，平面平面，，，分别为的中点，，． (1)设平面平面，l与AC交于O，若直线，证明：为中点； (2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可得出，结合中位线的性质可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为直线，平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，所以． 又因为为中点，所以为中点． （2）解：连接，因为，为中点，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，为的中点，则， 因为，且，所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、． 因为点为中点，所以． 所以，，设为平面的法向量， 则，取，可得， 设直线与平面所成角为， 因为，所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．（2023·陕西西安·校联考一模）如图，在三棱锥中，，O为的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形得到，再利用三角形全等得到，进而利用线面垂直的判定即可证明； （2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进而求解. 【详解】（1）因为，O为的中点，所以， 因为，所以． 又，所以，所以． 因为平面平面，所以平面 （2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 贝． 设平面的法向量为，则 令，得． 设平面的法向量为，则 令，得． 由向量的夹角公式可得：， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 4．（2023·陕西安康·统考三模）如图1，四边形是梯形，，，是的中点，将沿折起至，如图2，点在线段上. (1)若是的中点，证明：平面平面； (2)若，二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面，进而证得平面平面； （2）以为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：取中点，连接，，， 因为且为的中点，可得，所以， 在四边形中，，可得为菱形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：由，可得，所以， 因为，， 以为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，. 设，则， 所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又由平面，可得的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可得为锐角， 则，解得或（舍去），所以. 5．（2023·陕西商洛·统考二模）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)证明：平面. (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式即可求出答案. 【详解】（1）证明：连接交于点，则是的中点， 连接，又是的中点，所以. 又平面平面，所以平面. （2）解：以为坐标原点，分