全等三角形的七大模型压轴题训练（五）-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

全等三角形的七大模型压轴题训练（五） 1．在等边中，D为上一点，E为上一点，过B作，连接，，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由． (3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值． 2．已知D是等边三角形中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接并延长交直线于点F． (1)如图1，若，直接写出∠CFE的度数； (2)如图1，若，求AE的长； (3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明． 3．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：； (2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：； (3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 4．在等腰三角形中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图1，若，求和的度数． (2)如图2中，的平分线交于点M，交于点N，连接． ①补全图2； ②若，求证：． 5．我们定义：如图1，在中，把AB绕点A按顺时针方向旋转得到，把绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线AF叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． (1)在图2、图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当是等边三角形时，与的数量关系为： ______； ②如图3，当，时，则长为______． (2)如图4，已知在四边形内部存在点P，使得是的“旋补三角形”，且点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．请用直尺和圆规作出点P；（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 6．已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点E在正方形内部时， ①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 7．动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”． (1)如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）； (2)如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______． 8．在数学的学习中，有很多典型的基本图形． (1)如图①，中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明　 　； (2)如图②，中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积； (3)如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度． 9．【向题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 10．在 中，，，点 D 是直线 上一点，点 C 关于射线 的对称点为点 E．作直线 交射线 于点 F．连接 ． (1)如图 1，点 D 在线段 上，求 的大小（用含α 的代数式表示）； (2)如果， ①如图 2，当点 D 在线段 上时，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明； ②如图 3，当点 D 在线段 的延长线上时，补全图形，直接写出线段 、、之间的数量关系． 11．如图为等边三角形，直线，D为直线上任一动点，将一角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． (1)如图1，若D恰好在的中点，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D为直线上任一点，其他条件不变，上述（1）的结