考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练） 一、 2022真题抢先刷，考向提前知 一．填空题（共2小题） 1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　 　． 2．（2022•浙江）已知函数f（x）＝则f（f（））＝　 　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　 　． 二、考点清单 一．函数最值的应用 函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值． 这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解． 例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？ 解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则 ＝2400m+6（）m…（6分） 求导可得 令，可得x＝40…（11分） ∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减 ∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元． 这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性． 【高考预测】 应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来． 二．分段函数的应用 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数． 【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法． 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件． （Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？ （Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？ 解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件， 年销售收入为（11.8﹣p）万元， 政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元） 故所求函数为y＝（11.8﹣p）p 由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分） （II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16 化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10． 故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分） （III）第二年，当税收不少于16万元时， 厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10） ∵在[2，10]是减函数 ∴g（p）max＝g（2）＝800（万元） 故当税率为2%时，厂家销售金额最大． 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论． 【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答． 三．根据实际问题选择函数类型 1．实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容． 2．