第1章 创新拓展系列(一) 柯西不等式（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版，新教材新高考）

正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 精品课件 2024版数学（北师大） 第一章集合、常用逻辑用语及不等式 创新拓展系列（一 ）柯西不等式 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 2.(柯西不等式的向量形式)设a,B为平面上的两个向量，则aB例≥a例，其中当且 仅当B是零向量，或存在实数k,使a=邱时等号成立. 3.(柯西不等式的三角不等式)设x1,y,2,y2,x3,y3为任意实数，则： V(x1-x2)2+0y1y2)2+Vx2-x3)2+62y3)2≥Vx1-x3)2+01y3)2. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 题型一利用柯西不等式求最值 例0)已知60,0车+y2=1,则总+的最大值是 解桥：由打西不等式得后+v+1≥6×1+y×-5+, 所以1×2≥货+小，当时y,即=5，y=子时等号成立. 所以对V,中识+的大值是2 答案：2 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 (2)己知x,y满足x+3y=4,则4x2+y2的最小值为 解析：+3≤(2+4+9，所以42+≥16×号-。 当且仅当y=12x时，等号成立， 4 所以4x2+y2的最小值为37 答案：9 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 (3)函数y=2V2-x十V2x-3的最大值为 解析：y=2V2-x+V2x-3=V2-x+1V2-x+V2x-3≤1V1+1+1: V(2-x)+(2-x)+(2x-3)=V3, 当且仅当V2-x=V2x-3,即x=3时等号成立，函数y的最大值为V3. 答案：3 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 题型二 利用柯西不等式证明不等式 [例2】已知a,:b:h为正实数，求证：(ah十ab)会+≥an十a四 证明：(ab+ab份+分ab+0abnV+0V ≥Nawbi.+abV=a+amR. 当且仅当b1=b2时，等号成立. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 [例3】已知a,a,,an都是实数，求证：a十a十…十a2≤a+a+…十a2 证明：根据柯西不等式，有12+12+…十12)(a+a+…+a扇≥(1×a+1×a2+ +1×an)2, 所以a+a2+…+a}2≤a++…十a2 【思维升华】 利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不 等式的结构形式. 正禾一本通 高三一轮总复习高效讲义 【创新集训】 1.函数y=2V1一x十V2x+1的最大值为 解析：由题意，函数y=2V1-x+V2x+1=V2×V2-2x+1V2x+1 ≤VN22+12.VV2-2x)+(V2x+1)2=V3×V3=3, 当且仅当V2-2x1=V2V2x+1取等号，即2-2x=4x+2,即x=0时取等号， 所以函数的最大值为3. 答案：3