第09讲 用配方法解一元二次方程（十四大题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第09讲 用配方法解一元二次方程 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义； 2．会把一元二次方程化为一般形式． 一、直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 二、配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 三、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 考点1：直接开平方法解一元二次方程 例1．一元二次方程的解为（     ） A． B．， C． D． 例2．若，则是（       ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 例3．方程x2- =0的根为_______． 例4．有关方程的解说法正确的是（       ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 例5．若方程的两个根分别是与，则_____． 例6．解方程： （1）；                                （2）； （3）；                              （4）． 例7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 例8．一元二次方程的实数根为（       ） A． B． C． D． 考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件 例9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(   ) A． B． C． D． 例10．方程y2＝-a有实数根的条件是（       ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(     ) A． B． C． D． 例12．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（       ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 例13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（       ）. A． B． C． D．任意实数 例14．已知方程有实数根，则与的关系是（       ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 考点3：直接开平方法解一元二次方程的复合型 例15．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ） A． B． C． D． 例16．方程的解为（       ） A． B． C． D． 例17．解方程： （1）；（2）． 考点4：一元二次方程的根的概念深入理解 例18．一元二次方程的根与的根（       ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 考点5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式