专题04 随机变量及其分布（考点串讲）-【中职专用】高二数学下学期期末复习大串讲（北师大版2021·拓展模块一下册）

专题04 随机变量及其分布（考点串讲） 【考点梳理】 知识点一：离散型随机变量的分布列 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2） 离散型随机变量的分布列必须满足：①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； （3）离散型随机变量的均值 … … … … 均值 （4）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，称为随机变量的标准差. 知识点二：二项分布 1.独立重复试验 在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2.二项分布 （1）一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)= ，k=0，1，2，…，n，X的分布列为： 0 1 k n （2）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为，的二项分布，即，则， . 知识点三：正态分布 1、正态曲线：一般地，函数φ（x）=对应的图象称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ（x）也常记为φμ，σ（x）)．其中μ=E（X），即X的均值;σ=，即X的标准差． 2．正态曲线的性质 （1）正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点; （2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; （3）σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 3、正态分布： 如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ（x）与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ 和σ的正态分布，记作X~N(μ ，σ2 )． μ是X的平均值， σ是X的标准差，σ2是X的方差． 由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ ，σ2 )，那么 P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5， P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.3％， P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.4％， P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.7％． 【考点过关】 例1．已知随机变量的分布列如表： 1 2 3 4 0.15 0.35 0.25 则实数（    ） A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35 练习1．已知随机变量的分布列为 0 1 则实数（    ） A． B． C． D． 例2．一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 练习1．样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数，方差分别为（    ）． A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1 例3．已知离散型随机变量的分布列如下表： 1 3 5 0.3 0.4 则其数学期望（    ） A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2 练习1．已知随机变量X的分布列为： X 0 2 3 P m 2m 则（    ） A．2 B． C． D．1 例4．若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 练习1．随机变量的分布列是.若，则（    ） -2 1 2 A． B． C． D． 例5．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（    ） A． B． C． D．1 练习1．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（   ）. A． B． C． D． 例6．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 练习1．离散型随机变量，则其数学期望（    ） A．4.1 B．4.8 C．4.2 D．4.