专题1.3 全等三角形的重难点模型（6个考点八大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题1.3 全等三角形的重难点模型（6个考点八大题型） 【题型1 平移型】 【题型2 翻折型】 【题型3 旋转型】 【题型4 一线三等角型（三类型）】 【题型5 手拉手模型（四大类型）】 【题型6 半角模型】 【题型7 对角互补模型】 【题型8 平行+线段中点构造全等模型】 【题型1 平移型】 【方法技巧】 【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E． 【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD． 【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：． 【题型2 翻折型】 【方法技巧】 【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC． 【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 求证： ． 【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC. 【题型3 旋转型】 【方法技巧】 【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 【典例4】如图，，，，求证：. 【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. 【题型4 一线三等角型】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN． （1）求证：MN＝BM+CN； （2）求证：∠BAC＝90°． 【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同） 【变式5-2】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 . （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时， ①求证： ≌ ； ②求证： ； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 【典例6】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a＝2时，则C点的坐标为 　 　； （2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【变式6】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD． （1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD． ①求证：AC＝OD； ②求D点坐标． （2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度． 【典例7】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、C