24.2.2.2 切线的判定与性质 课件 2022—2023学年人教版数学 九年级上册

圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 新知一览 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第二十四章 圆 24.2.2 第 2 课时 切线的判定与性质 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 知识点 1：切线的判定 A B C 问题：已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？ 观察： (1) 圆心 O 到直线 AB 的距离 d 和圆的半径 r 有什么数量关系? (2) 二者位置有什么关系？为什么？ O d = r 相切 ⇔ 总结 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理： 几何语言： A B C O 尝试翻译成几何语言. ∵ OA 为⊙O 的半径， BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. 例1 判断: (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) × × × 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件： (1) 直线经过半径的外端； (2) 直线与这半径垂直. 总结 缺一不可 思考 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 抽象 总结 证明切线的方法 ： (1) 定义法(交点个数)； (2) 数量关系法(证明 d = r)； (3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 方法总结 常见证切线作辅助线的方法： 思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. E 1.如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 连接 OD OD∥AC ∠ODF = ∠AED = 90° AD 平分∠CAB ∠ODA =∠OAD = ∠DAC 证明：连接 OD. ∵AD 平分∠CAB，OA = OD， ∴∠ODA =∠OAD =∠DAC. ∴ OD∥AC. 又∵ DE⊥AC ， ∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线. 知识点 2：切线的性质 合作探究 如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？ 改变切线判定定理的题设与结论： 证明：假设 AB 与 CD 不垂直， 过点 O 作 OE⊥CD，垂足为 E； 理由：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. ∴ OE＜OA， ∴CD与⊙O 相交，与已知条件相矛盾； ∴假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. 证法：反证法 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 总结 例4 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线． 分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD). E 证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 D， 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC. ∴ OE = OD. ∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径. ∴ AC 是⊙O 的切线． E ∴ OD⊥AB. ∵ OD 是⊙O 的半径， 总结 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，