重难点专项突破01二次函数的最值（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

重难点专项突破01二次函数的最值（4种题型） 【题型细目表】 题型一：利用二次函数的对称性求最短路径 题型二：面积最值问题 题型三：最大利润问题 题型四：线段最值问题 【考点剖析】 题型一：利用二次函数的对称性求最短路径 一、填空题 1．（浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中）如图，抛物线过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为_____ 2．（浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ___．（填序号） 二、解答题 3．（浙江宁波·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标. 4．（浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点M是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 5．（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由． 6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 7．（浙江宁波·校联考一模）如图，抛物线M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，将抛物线M1平移得到抛物线M2：y=ax2+bx+c，M1与M2相交于点B，直线AB交M2于点C（8，m），且AB=BC． （1）求点A，B，C的坐标； （2）写出一种将抛物线M1平移到抛物线M2的方法； （3）在y轴上找点P，使得BP+CP的值最小，求点P的坐标． 8．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 题型二：面积最值问题 一、解答题 1．（2022·浙江·九年级自主招生）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米． (1)写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； (3)求矩形菜园面积的最大值． 3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为． 例如：如图1，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为． (1)若，请完成下表． (2)如图3，若，机器人执