第八章 第七节 第2课时 范围问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第八章　解析几何 第❷课时　范围问题 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 分级练（57） 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 谢谢观看！ 考点 范围问题(精研通) 考法1　构造不等式求范围问题 【例1】已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1(图略).由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝ eq \r(3) c， 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝( eq \r(3) ＋1)c， 故C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(3) －1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 eq \f(1,2) |y|·2c＝16， eq \f(y,x＋c) · eq \f(y,x－c) ＝－1， eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1， 即c|y|＝16，①　x2＋y2＝c2，②　 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝ eq \f(b4,c2) . 又由①知y2＝ eq \f(162,c2) ，故b＝4. 考法2　构造函数求范围问题 【例2】已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1， eq \f(\r(2),2) ). (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝t eq \o(OP,\s\up16(→)) ，其中t∈( eq \f(2\r(6),3) ，2)，求|AB|的取值范围． 解：(1)依题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋1，,\f(1,a2)＋\f(1,2b2)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b2＝1，)) ∴椭圆C的方程为 eq \f(x2,2) ＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2). 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,\f(x2,2)＋y2＝1)) 得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∴Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2< eq \f(1,2) . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8k2,1＋2k2) ，x1x2＝ eq \f(8k2－2,1＋2k2) ，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－ eq \f(4k,1＋2k2) . 由 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝t eq \o(OP,\s\up16(→)) ，得P( eq \f(8k2,t（1＋2k2）) ， eq \f(－4k,t（1＋2k2）) )，代入椭圆C的方程，得t2＝ eq \f(16k2,1＋2k2) . 由 eq \f(2\r(6),3) <t<2，得 eq \f(1,4) <k2< eq \f(1,2) ， ∴|AB|＝ eq \r(1＋k2) · eq \f(2\r(2)·\r(1－2k2),1＋2k2) ＝2 eq \r(\f(2,（1＋2k2）2)＋\f(1,1＋2k2)－1) . 令u＝ eq \f(1,1＋2k2) ，则u∈( eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) )， ∴|AB|＝2 eq \r(2u2＋u－1) ∈(0， eq \f(2\r(5),3) )，∴|AB|的取值范围为(0， eq \f(2\r(5),3) ).