8.3.2 二项式系数的性质（课件，含动画演示）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

数 学 8.3.2二项式系数的性质 第8章 排列组合 拓展模块一（下册） 高等教育出版社 1 第8章排列组合 8.3.2二项式系数的性质 学习目标 知识目标 能通过实例感知二项式系数及其性质，并注意区分二项式系数与项的系数 . 能力目标 通过猜想、证明、归纳，体会化归思想，形成科学严谨的态度，养成认真规范、注重细节的思维习惯. 情感目标 经历合作学习的过程，培养团队协作的意识. 核心素养 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析和逻辑推理等核心． 某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作)种情况，赢1场有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有种情况，…赢7场有种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？ 创设情境，生成问题 活动 1 运用本节学习的二项式系数的性质，能够快速地解决这个问题. 观察表中n取不同值时各二项展开式的二项式系数，你能发现什么规律？ 调动思维，探究新知 活动 2 为了方便观察，我们可计算各个组合数. 调动思维，探究新知 活动 2 可以看出二项式系数具有如下性质：  (1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 ，那么它“肩上” 的两个数分别为 ，由8.2节组合数的性质 2可知： . (2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到： . (3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.  (4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，取a=b=1,可得 调动思维，探究新知 活动 2 由此可知，在本节的“情境与问题”中，该班比赛7场的结果共有 探究与发现 对于(a+b)n展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们．可将看成是以r为自变量的函数f(r)，你能面出 n=6时的函数图像吗？观察图像，二项式系数具有怎样的规律？ 巩固知识，典例练习 活动 3 典例1 求(x-2y)10的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数. 解：由于(x-2y)10的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，这一项为 此项的系数为-8064. 巩固知识，典例练习 活动 3 典例2 求(1+x)7的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和. 解：(1+x)7展开式的二项式系数为 . 则二项式系数之和为 奇数项的二项式系数之和是 偶数项的二项式系数之和是 探究与发现 观察例5的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明你的猜想？ 拓展延伸 拓展延伸 如图8-16所示,矩形网格由4x5条线段组成，试求从点A到点B的最短路径共有几条? 显然，要从点A到达点G,就必须经过与点G相邻的点E或点F.因此,到达点G的最短路径数就是到达点E和点F的最短路径数之和.不难发现,从点A到达第一行及第一列的每个格点的最短路径数都是1.根据以上规律,我们能依次写出从点A到每个格点的最短路径数(图8-17).可以看到,从点A到点B的最短路径共有35条. 拓展延伸 将图8-17中从点A到每个格点的最短路径数提取出来,再顺时针转45°,可以发现,它正是二项式系数表的一部分(图8-18). 其实,要从点A以最短路径到达点B,必须经过4次“向右走”和3次“向下走”。因此,只需确定在这7次移动中哪4次是“向右走”(或哪次是“向下走”).可以把“向右走”记为a,"“向下走”记为b,求从点A到点B的最短路径数就等同于在(a+b)7 的展开式中求出含a4b3项的系数.于是,借助(a+b)n的展开式,就可以算出点A到每个格点的最短路径数(图8-19). 巩固练习，提升素养 活动 4  1.求 的展开式中二项式系数最大的项.  2.求 (a-b)7的展开式中系数最大的项.  巩固练习，提升素养 活动 4 3.已知(x+π)n的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，求这两项.  4. 求 (1-x)6的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和. 课堂小结 /作业布置/ 8.3.2 (1) 读书部分： 教材章节8.3.2； (2) 书面作业： P122习题8.3的1，2